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埃尔米特插值（等距节点，只用一个点的导数构造n+1阶Hermite多项式）Python实现
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函数
y=11+x2
y
=
1
1
+
x
2
埃尔米特插值
埃尔米特多项式构造方法有很多种。 这里只是用最简单的一种，通过均差来进行构造，最后再通过任意一个点的导数来计算出一个待定系数（这里假设的是m）。 下面代码中使用的是第一个点的导数相等来作为限制，算出这个多项式。 插值效果下面代码就是根据之前的拉格朗日插值改进得到的。所以那个label那个就是用拉格朗日的做默认值 有必要解释一下，ff(x)这个函数，只能传一个数组类型，然后算的这个数组的均差。 注意到，这里算出的来的跟之前直接用拉格朗日算出的来数值loss的绝对值均值基本相等。 import numpy as np from sympy import * import matplotlib.pyplot as plt def f(x): return 1 / (1 + x ** 2) def ff(x): # f[x0, x1, ..., xk] ans = 0 for i in range(len(x)): temp = 1 for j in range(len(x)): if i != j: temp *= (x[i] - x[j]) ans += f(x[i]) / temp return ans def draw(L, newlabel= 'Lagrange插值函数'): plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False x = np.linspace(-5, 5, 100) y = f(x) Ly = [] for xx in x: Ly.append(L.subs(n, xx)) plt.plot(x, y, label='原函数') plt.plot(x, Ly, label=newlabel) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.legend() plt.savefig('1.png') plt.show() def lossCal(L): x = np.linspace(-5, 5, 101) y = f(x) Ly = [] for xx in x: Ly.append(L.subs(n, xx)) Ly = np.array(Ly) temp = Ly - y temp = abs(temp) print(temp.mean()) def calM(P, x): Y = 1 / (1 + n ** 2) dfP = diff(P, n) return solve(Y.subs(n, x[0]) - dfP.subs(n, x[0]), [m,])[0] if __name__ == '__main__': x = np.array(range(11)) - 5 y = f(x) n, m = symbols('n m') init_printing(use_unicode=True) P = f(x[0]) for i in range(len(x)): if i != len(x) - 1: temp = ff(x[0:i + 2]) else: temp = m for j in x[0:i + 1]: temp *= (n - j) P += temp P = expand(P) P = P.subs(m, calM(P, x)) draw(P, newlabel='Hermite插值多项式（-5点导数相等）') lossCal(P) |
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